/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000051*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β↓G␈↓ ↓@␈ε<Ans␈α␈w␈α}er␈α␈s␈α∃t␈α␈o␈α∃P␈α␈ro␈α␈blem␈α∀Set␈↓ εl␈ε<2␈α∀-␈α∃Due␈α∃Apr␈α␈il␈α∀12␈α␈,␈α∃1␈α␈97␈α␈9
␈β↓R␈↓ εZ␈ε6q
␈βαZ␈↓ ∧s␈ε2Question␈ε6␈αq␈ε21␈α([MT]p17␈ε6␈αq␈ε"1␈ε2).
␈ββ∃␈↓ ↓a␈ε1Consi␈α␈der␈α
the␈α
funct␈α␈ion␈α
dro␈α↓p␈α
de|ne␈α␈d␈α
by
␈ββA␈↓ βB␈ε1dro␈α↓p␈ε$[␈ε1␈α∞u␈ε$␈α⊂]␈↓ ∧S␈ε8(␈↓ ∧z␈ε4i␈α␈f␈↓ ¬↔␈ε*n␈↓ ¬.␈ε1u␈↓ ¬J␈ε4t␈α␈hen␈↓ ε∂␈ε1NIL␈↓ εP␈ε4el␈α␈se␈↓ π
␈ε4<␈↓ π3␈ε*a␈↓ πG␈ε4u␈α
>␈α∀.␈ε1␈α∀drop␈ε$[␈↓ 	π␈ε*d␈↓ 	≥␈ε4u␈ε$␈α¬]␈ε1␈α␈.
␈ββY␈↓ ∧z␈∧βY∧zα∪␈↓ ¬↔␈∧βY¬↔α∪␈↓ ¬J␈∧βY¬Jα<␈↓ εP␈∧βYεPα0␈↓ π3␈∧βYπ3α∂␈↓ 	π␈∧βY	πα⊃
␈ββn␈↓ ↓H␈ε1C␈α␈o␈α↓m␈α␈pute␈α
(by␈α
hand)␈α
drop␈ε$[␈ε4␈α⊃(␈α↓A␈αB␈α∞C␈α␈)␈ε$␈α∪]␈ε1␈α␈.␈α∩W␈α␈hat␈α
does␈α
drop␈α
do␈α
to␈α
l␈α␈ists␈αin␈α
ge␈α␈neral?␈α∩W␈α␈rite␈αdrop␈α
i␈α␈n
␈β∧∞␈↓ ↓H␈ε1i␈α␈n␈α␈ternal␈α
notation␈α
using␈ε4␈α
DEF␈α↓UN␈ε1.
␈β∧<␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β∧?␈↓ αU␈ε0d␈α␈rop␈ε#[␈ε3␈α∞(A␈αλB␈αλC)␈ε#␈α∞]␈α	will␈α	re␈α␈turn␈α␈s␈ε3␈αλ(␈α↓(A)␈αλ(B)␈α	(C))␈ε#.␈α
In␈αλgen␈α␈era␈α␈l␈α↓,␈α	it␈αλwi␈α↓ll␈αλmak␈α}e␈αλeach␈απelemen␈α}t,
␈β∧A␈↓ α;␈ε1:
␈β∧Y␈↓ ↓H␈∧∧Y↓Hαt
␈β∧g␈↓ ↓H␈ε3x␈ε#␈α␈,␈α
of␈α
a␈αlist␈α
in␈α␈to␈αth␈α␈e␈α
list,␈ε3␈α
(␈α
x␈α)␈ε#␈α↑␈α
i.e.␈α⊂a␈αlist␈α
wh␈α␈ose␈αsingle␈αmem␈α␈b␈α␈er␈αi␈α↓s␈αthis␈ε3␈αx␈ε#.␈α∂(␈α↓O␈α␈f␈α
cou␈α␈rse,␈ε3␈α
x
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈eed␈α
no␈α␈t␈αb␈α␈e␈αan␈α
ato␈α␈m,␈αb␈α␈ut␈αm␈α␈ay␈αb␈α␈e␈αa␈αlist␈αi␈α↓t␈α␈self␈α↓.)␈αIn␈αin␈α␈t␈α␈erna␈α␈l␈αn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
wri␈α↓te
␈β¬G␈↓ α≡␈ε3(DEFUN␈↓ β,␈ε3DR␈α␈OP␈↓ ∧∨␈ε3(U)
␈β¬n␈↓ β,␈ε3(COND␈↓ ∧∨␈ε3((NULL␈αU)␈↓ ¬B␈ε3N␈α␈I␈α↓L)
␈βε⊗␈↓ ∧∨␈ε3(T␈↓ ¬B␈ε3(CO␈α␈NS␈α(LIST␈α(CAR␈αU))␈α(␈α↓D␈α␈RO␈α␈P␈α(CDR␈αU))))))
␈βπ∃␈↓ ¬β␈ε3Qu␈α␈estion␈ε7␈α
q␈ε32␈α([MT]p␈α␈17␈ε7␈αq␈ε#␈α␈2␈ε3).
␈βπM␈↓ ↓a␈ε1W␈α␈ha␈α↓t␈α
does␈α
the␈α
func␈α␈tion
␈βπz␈↓ β`␈ε1r2␈ε$[␈ε1␈α∂u␈ε$␈α∂]␈↓ ∧N␈ε8(␈↓ ∧u␈ε4if␈↓ ¬∩␈ε*n␈↓ ¬*␈ε1u␈↓ ¬E␈ε4the␈α␈n␈↓ ε␈ε1N␈α␈I␈α↓L␈↓ εK␈ε4el␈α␈se␈↓ π¬␈ε1rev␈α␈e␈α␈rse␈ε$[␈↓ πo␈ε*a␈↓ λβ␈ε4u␈ε$␈α¬]␈ε4␈α∀.␈α∀r2␈α↓[␈↓ λw␈ε*d␈↓ 	
␈ε4u]
␈βλ∩␈↓ ∧u␈∧λ∩∧uα∪␈↓ ¬∩␈∧λ∩¬∩α∪␈↓ ¬E␈∧λ∩¬Eα<␈↓ εK␈∧λ∩εKα0␈↓ πo␈∧λ∩πoα∂␈↓ λw␈∧λ∩λwα⊃
␈βλ&␈↓ ↓H␈ε1do␈α
to␈αl␈α␈is␈α␈ts␈α
o␈α↓f␈α
li␈α␈sts?␈α
How␈α
about
␈βλN␈↓ ∧¬␈ε1r3␈ε$[␈ε1␈α∂x␈ε$␈α∂]␈↓ ∧i␈ε8(␈↓ ¬⊂␈ε4if␈↓ ¬-␈ε4at␈↓ ¬M␈ε1x␈↓ ¬i␈ε4t␈α␈hen␈↓ ε.␈ε1x␈↓ εI␈ε4els␈α␈e␈↓ πβ␈ε1rev␈α␈e␈α␈rse␈ε$[␈ε1␈α∧r4␈ε$␈α↓[␈ε1␈α∧x␈ε$␈α¬]␈α¬]
␈βλf␈↓ ¬⊂␈∧λf¬⊂α∪␈↓ ¬-␈∧λf¬-α≤␈↓ ¬i␈∧λf¬iα<␈↓ εI␈∧λfεIα0
␈βλo␈↓ ∧¬␈ε1r4␈ε$[␈ε1␈α∂u␈ε$␈α∂]␈↓ ∧i␈ε8(␈↓ ¬⊂␈ε4if␈↓ ¬-␈ε*n␈↓ ¬E␈ε1u␈↓ ¬`␈ε4the␈α␈n␈↓ ε%␈ε1NIL␈↓ εf␈ε4el␈α␈se␈↓ π ␈ε1r3␈ε$[␈↓ πI␈ε*a␈↓ π]␈ε4u␈ε$␈α¬]␈ε4␈α	.␈ε1␈α
r4␈ε$[␈↓ λA␈ε*d␈↓ λW␈ε4u␈ε$␈α¬]␈ε1␈α␈?
␈β	π␈↓ ¬⊂␈∧	π¬⊂α∪␈↓ ¬-␈∧	π¬-α∪␈↓ ¬`␈∧	π¬`α<␈↓ εf␈∧	πεfα0␈↓ πI␈∧	ππIα∂␈↓ λA␈∧	πλAα⊃
␈β	(␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β	+␈↓ αW␈ε0r2␈ε#␈α	r␈α␈ev␈α␈erse␈α␈s␈α	each␈αλeleme␈α␈n␈α␈t,␈ε3␈α
x␈ε#␈α␈,␈α
o␈α␈f␈α
a␈αλli␈α↓st.␈α
These␈αλrev␈α␈er␈α␈se␈α	elemen␈α}ts␈α	are␈αλthen␈αλretu␈α␈rned␈α␈,
␈β	-␈↓ α;␈ε1:
␈β	E␈↓ ↓H␈∧	E↓Hαt
␈β	S␈↓ ↓H␈ε#in␈α
orde␈α␈r.␈αE.G.␈ε0␈αr2␈ε#[␈ε3␈α⊃(␈α(A␈αB␈α(X␈αY))␈α(C␈αD␈αE␈α↓)␈α(Q)␈α)␈ε#␈α≤]␈αretu␈α␈rns␈ε3␈α(␈α((X␈αY)␈αB␈αA)␈α(E␈αD␈αC␈α␈)␈α(Q)␈α)␈ε#␈α.
␈β	{␈↓ α␈ε0r3␈ε#␈αu␈α␈ses␈ε0␈αr4␈ε#␈αto␈αrec␈α␈ursiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
rev␈α␈e␈α␈rse␈αthe␈αo␈α␈rder␈αof␈αea␈α␈ch␈αen␈α}try␈αin␈αa␈αlist,␈αas␈αw␈α␈ell␈αa␈α␈s␈αth␈α␈e␈αli␈α↓s␈α␈t
␈β
"␈↓ ↓H␈ε#itself.␈αTha␈α␈t␈αis,␈αall␈αsub␈α␈-li␈α↓sts,␈αsu␈α␈b-su␈α␈b-lists,␈αetc.␈αan␈α␈d␈α
wi␈α↓ll␈αb␈α␈e␈αrev␈α}ersed␈α␈,␈αno␈α␈t␈αjust␈α
tho␈α␈se␈αat␈α
the
␈β
J␈↓ ↓H␈ε#|␈α␈rst␈α
lev␈α}el␈α↓.␈α
(␈α↓E.G.␈ε0␈α
r3␈ε#[␈ε3␈α∂(␈α
(A␈α
B␈α
(X␈α
Y)␈α↓)␈α	(␈α↓C␈α	D␈α
E)␈α
(Q)␈α
)␈ε#␈α~]␈α
re␈α␈turn␈α␈s␈ε3␈α
(␈α
(Q)␈α
(E␈α
D␈α
C)␈α
((Y␈α
X)␈α
B␈α
A)␈α
)␈ε#␈α
.)
␈β
q␈↓ ↓H␈ε0r4␈ε#␈α
rev␈α}erses␈αth␈α␈e␈αo␈α␈rder␈αo␈α␈f␈αall␈αsub␈α␈li␈α↓sts␈α
wi␈α↓th␈α␈in␈αth␈α␈e␈αo␈α}v␈α␈era␈α␈l␈α↓l␈αlist,␈αbu␈α␈t␈αno␈α␈t␈αthe␈α
ord␈α␈er␈αof␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β→␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αth␈α␈is␈αfu␈α␈l␈α↓l␈αli␈α↓st.␈α(E.G.␈ε0␈αr4␈ε#␈α␈[␈ε3␈α∩(␈α(A␈αB␈α(X␈αY))␈α(C␈αD␈αE)␈α(␈α↓Q␈α␈)␈α)␈ε#␈α≤]␈αretu␈α␈rns␈ε3␈α(␈α(A␈αB␈α(␈α↓X␈αY))␈α(C␈αD␈αE)
␈βA␈↓ ↓H␈ε3(Q)␈α)␈ε#␈α.)␈αIt␈αalso␈αh␈α␈as␈αthe␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓t␈αd␈α␈oesn␈α␈'t␈αgiv␈α␈e␈αan␈α
error␈αwh␈α␈en␈αits␈αarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈αis␈αn␈α␈ot␈αa
␈βh␈↓ ↓H␈ε#(n␈α␈on␈α␈-␈ε3NIL␈ε#␈α↓)␈αato␈α␈m.
␈βX␈↓ ¬β␈ε3Qu␈α␈estion␈ε7␈α
q␈ε33␈α([MT]p␈α␈17␈ε7␈αq␈ε#␈α␈3)␈ε3.
␈β
⊂␈↓ ↓a␈ε1Com␈α␈pa␈α↓re
␈β
<␈↓ β2␈ε1r3'␈ε$[␈ε1␈α∂x␈ε$␈α∂]␈↓ ∧)␈ε8(␈↓ ∧P␈ε4if␈↓ ∧m␈ε4at␈↓ ¬
␈ε1x␈↓ ¬)␈ε4the␈α␈n␈↓ ¬n␈ε1x␈↓ ε
␈ε4e␈α␈lse␈↓ εC␈ε4<␈ε1␈α
r3'␈ε$[␈↓ π≥␈ε*d␈↓ π3␈ε4x␈ε$␈α¬]␈ε4␈α
>␈α
*␈α
<␈ε1␈α
r3'␈ε$[␈↓ λy␈ε*a␈↓ 	
␈ε4x␈ε$␈α¬]␈ε4␈α	>
␈β
T␈↓ ∧P␈∧
T∧Pα∪␈↓ ∧m␈∧
T∧mα≤␈↓ ¬)␈∧
T¬)α<␈↓ ε
␈∧
Tε
α0␈↓ π≥␈∧
Tπ≥α⊃␈↓ λy␈∧
Tλyα∂
␈β
h␈↓ ↓H␈ε1wi␈α␈th␈α
the␈α
functi␈α␈o␈α↓n␈α
r3␈α
of␈αthe␈α
pr␈α␈o␈α↓c␈α␈eedi␈α␈ng␈αe␈α␈xa␈α↓m␈α␈ple␈α␈.
␈β∞⊗␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β∞→␈↓ α`␈ε0r3'␈ε#␈α∞c␈α␈orrec␈α␈tl␈α↓y␈αrev␈α␈er␈α␈ses␈α
S-ex␈α␈pres␈α␈si␈α↓o␈α␈ns,␈α∞wh␈α␈ereas␈ε0␈α
r3␈ε#␈α
r␈α␈ev␈α␈erse␈α␈s␈α∞LIS␈α␈Ts.␈α∩Tha␈α␈t␈α
i␈α↓s,␈ε0␈α∞r3␈α␈'
␈β∞≠␈↓ α;␈ε1:
␈β∞3␈↓ ↓H␈∧∞3↓Hαt
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈oes␈α	NOT␈α
do␈α	the␈α	ap␈α␈pro␈α␈priate␈α	thing␈α	with␈α
th␈α␈e␈ε3␈α
NIL␈ε#␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α
te␈α␈rminat␈α␈es␈α
eac␈α␈h␈α
list,␈α
as␈ε0␈α
r3␈ε#␈α	do␈α␈es.
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε#(E.G.␈ε0␈αr3'␈ε#[␈ε3␈α⊃(␈αA␈α)␈ε#␈α≠]␈αretu␈α␈rn␈α␈s␈ε3␈α(NIL␈α.␈αA)␈ε#␈α.)
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"1
␈β⊃∂

␈β↓T␈↓ ¬β␈ε3Qu␈α␈estion␈ε7␈α
q␈ε34␈α([MT]p␈α␈17␈ε7␈αq␈ε#␈α␈4␈ε3).
␈βα␈↓ ↓a␈ε1Consi␈α␈der␈α
r5␈α
de|ned␈α
by
␈βα?␈↓ αe␈ε1r5␈ε$[␈ε1␈α∂u␈ε$␈α∂]␈↓ βS␈ε8(␈↓ βz␈ε4if␈↓ ∧↔␈ε*n␈↓ ∧/␈ε1u␈ε8␈α
←␈↓ ∧j␈ε*n␈↓ ¬α␈ε*d␈↓ ¬_␈ε1u␈↓ ¬3␈ε4the␈α␈n␈↓ ¬y␈ε1u␈↓ ε∀␈ε4e␈α␈lse␈↓ εN␈ε4[␈↓ εV␈ε*a␈↓ εj␈ε1r5␈ε$[␈↓ π∪␈ε*d␈↓ π)␈ε4u␈ε$␈α¬]␈ε4␈α␈]␈α
.␈ε1␈α
r5␈ε$[␈↓ λ⊗␈ε*a␈↓ λ*␈ε4u␈α
.␈ε1␈α∀r5␈ε$[␈↓ 	␈ε*d␈↓ 	 ␈ε1r5␈ε$␈α↓[␈↓ 	I␈ε*d␈↓ 	←␈ε4u␈ε$␈α¬]␈α¬]␈α∧]␈ε1.
␈βαW␈↓ βz␈∧αWβzα∪␈↓ ∧↔␈∧αW∧↔α∪␈↓ ∧j␈∧αW∧jα∪␈↓ ¬α␈∧αW¬αα⊃␈↓ ¬3␈∧αW¬3α<␈↓ ε∀␈∧αWε∀α0␈↓ εV␈∧αWεVα∂␈↓ π∪␈∧αWπ∪α⊃␈↓ λ⊗␈∧αWλ⊗α∂␈↓ 	␈∧αW	α⊃␈↓ 	I␈∧αW	Iα⊃
␈βαs␈↓ ↓H␈ε1C␈α␈o␈α↓m␈α␈pute␈απr5␈ε$[␈ε4␈α
(A␈απB␈αλC␈αλD)␈ε$␈α]␈ε1.␈α	W␈α␈ha␈α↓t␈απdoes␈απr5␈αλdo?␈α
N␈α␈eedl␈α␈ess␈απto␈αλsay,␈αλt␈α␈his␈απis␈απno␈α↓t␈απa␈αλgo␈α↓od␈απwa␈α↓y␈απo␈α↓f␈απcomputi␈α␈ng
␈ββ∪␈↓ ↓H␈ε1thi␈α␈s␈α∞functi␈α␈on␈α∞ev␈α␈en␈α∞t␈α␈ho␈α↓ugh␈α∞i␈α␈t␈α∞in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α
no␈α∂auxi␈α␈li␈α␈a␈α↓ry␈α
f␈α↓unc␈α␈tions.␈α∃[␈α␈This␈α∞i␈α␈ngenious␈α∞de␈α␈|na␈α↓t␈α␈ion␈α∞wa␈α↓s
␈ββ4␈↓ ↓H␈ε1di␈α␈sco␈α␈v␈α␈ere␈α␈d␈αby␈α
S.␈α	Ness.␈α␈]
␈ββj␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈ββm␈↓ αe␈ε#T␈α↓o␈α∂n␈α␈o␈α⊂on␈α␈e's␈α⊂su␈α␈rprise,␈α⊃th␈α␈i␈α↓s␈α∂f␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂comp␈α␈ute␈α␈s␈α⊂the␈α∂rev␈α␈e␈α␈rse␈α⊂of␈α∂i␈α↓ts␈α∂argu␈α␈men␈α}t.
␈ββo␈↓ α;␈ε1:
␈β∧ε␈↓ ↓H␈∧∧ε↓Hαt
␈β∧∀␈↓ ↓H␈ε#Disb␈α␈eli␈α↓e␈α␈v␈α␈ers␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
trace␈α
this␈αfun␈α␈ction␈αa␈α␈s␈αfoll␈α↓o␈α}ws:
␈β∧S␈↓ ↓t␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊃(A␈αB␈αC␈αD)␈ε#␈α⊃]␈↓ βh␈ε#=␈↓ ∧∪␈ε3[␈↓ ∧≤␈ε)a␈↓ ∧2␈ε0r5␈ε#[␈↓ ∧←␈ε)d␈↓ ∧w␈ε3(A␈αB␈αC␈αD)␈ε#␈αε]␈ε3]␈α.␈ε0␈α↔r5␈ε#␈α␈[␈↓ ε␈␈ε)a␈↓ π∃␈ε3(A␈αB␈αC␈αD)␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈↓ λ{␈ε)d␈↓ 	∪␈ε0r5␈ε#␈α␈[␈↓ 	?␈ε)d␈↓ 	W␈ε3(A␈αB␈αC␈αD␈ε#␈α¬]␈αε]␈αε]
␈β∧m␈↓ ∧≤␈∧∧m∧≤α⊃␈↓ ∧←␈∧∧m∧←α∪␈↓ ε␈␈∧∧mε␈α⊃␈↓ λ{␈∧∧mλ{α∪␈↓ 	?␈∧∧m	?α∪
␈β∧z␈↓ βh␈ε#=␈↓ ∧∪␈ε3[␈↓ ∧≤␈ε)a␈↓ ∧2␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊃(B␈αC␈αD)␈ε#␈αε]␈ε3]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈αεA␈α.␈ε0␈αr␈α␈5␈ε#[␈↓ π(␈ε)d␈↓ π@␈ε3r5[␈α(B␈αC␈αD)␈ε#␈αε]␈αε]␈ε3]␈ε0.
␈β¬∀␈↓ ∧≤␈∧¬∀∧≤α⊃␈↓ π(␈∧¬∀π(α∪
␈β¬"␈↓ ↓t␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊃(B␈αC␈αD)␈ε#␈α⊃]␈↓ βh␈ε#=␈↓ ∧∪␈ε3[␈↓ ∧≤␈ε)a␈↓ ∧2␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈αε(C␈αD)␈ε#␈α¬]␈ε3␈α↓]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈αεB␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈↓ εz␈ε)d␈↓ π∩␈ε0r5␈ε#␈α␈[␈ε3␈αε(C␈αD)␈ε#␈αε]␈αε]␈α¬]␈ε0␈α↓.
␈β¬<␈↓ ∧≤␈∧¬<∧≤α⊃␈↓ εz␈∧¬<εzα∪
␈β¬J␈↓ ↓t␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊃(C␈αD)␈ε#␈α⊃]␈↓ βh␈ε#=␈↓ ∧∪␈ε3[␈↓ ∧≤␈ε)a␈↓ ∧2␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈αε(D)␈ε#␈α¬]␈ε3␈α↓]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈αεC␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈↓ εX␈ε)d␈↓ εp␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈αε(D)␈ε#␈α¬]␈αε]␈αε]␈ε0.
␈β¬d␈↓ ∧≤␈∧¬d∧≤α⊃␈↓ εX␈∧¬dεXα∪
␈β¬q␈↓ ↓t␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊃(C␈αD)␈ε#␈α⊃]␈↓ βh␈ε#=␈↓ ∧∪␈ε3[␈↓ ∧≤␈ε)a␈↓ ∧2␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈αε(D)␈ε#␈α¬]␈ε3␈α↓]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈αεC␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈↓ εX␈ε)d␈↓ εp␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈αε(D)␈ε#␈α¬]␈αε]␈αε]␈ε0.
␈βε␈↓ ∧≤␈∧ε∧≤α⊃␈↓ εX␈∧εεXα∪
␈βε→␈↓ ↓t␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊃(D)␈ε#␈α⊃]␈↓ βh␈ε#=␈↓ ∧∪␈ε3(D)␈ε0.
␈βε↑␈↓ ↓H␈ε#THEREF␈α␈ORE
␈βεz␈↓ ∧≡␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊂(␈α↓C␈αD␈α␈)␈ε#␈α⊃]␈↓ ¬N␈ε#=␈↓ ¬x␈ε3[␈↓ εα␈ε)a␈↓ ε↔␈ε3(␈α↓D␈α␈)␈α↓]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈αεC␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈↓ λα␈ε)d␈↓ λ~␈ε3(␈α↓D␈α␈)␈ε#␈αε]␈αε]
␈βπ∀␈↓ εα␈∧π∀εαα⊃␈↓ λα␈∧π∀λαα∪
␈βπ!␈↓ ¬N␈ε#=␈↓ ¬x␈ε3D␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈αεC␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈αεNIL␈ε#␈αε]␈α¬]
␈βπI␈↓ ¬N␈ε#=␈↓ ¬x␈ε3D␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈αεC␈α.␈αNIL␈ε#␈αε]
␈βπq␈↓ ¬N␈ε#=␈↓ ¬x␈ε3D␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈α⊃(C)␈ε#␈α⊃]
␈βλ_␈↓ ¬N␈ε#=␈↓ ¬x␈ε3D␈α.␈α(C)
␈βλ@␈↓ ¬N␈ε#=␈↓ ¬x␈ε3(D␈αC)␈ε0.
␈βλx␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈αuse␈α␈d␈αt␈α␈he␈α
f␈α↓a␈α␈ct␈αth␈α␈at␈ε0␈α
r5␈ε#[␈ε3␈α⊃N␈α␈I␈α↓L␈ε#␈α⊂]␈↓ ¬A␈ε#=␈↓ ¬l␈ε3NIL␈ε#,␈αan␈α␈d␈ε0␈α
r5␈ε#[␈ε3␈α⊂(C)␈ε#␈α⊃],␈αb␈α␈ei␈α↓n␈α␈g␈α
of␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αfo␈α␈rm␈αa␈α␈s␈ε0␈αr5␈ε#[
␈β	∨␈↓ ↓H␈ε3(D)␈ε#␈α⊂]␈α↓,␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
equ␈α␈al␈αjust␈ε3␈α(C)␈ε#.
␈β	G␈↓ α␈ε#Back␈α␈ing␈αu␈α␈p␈αth␈α␈i␈α↓s␈αre␈α␈cursio␈α␈n,␈αw␈α␈e␈αsee
␈β
␈↓ βj␈ε0r5␈ε#[␈ε3␈α⊃(B␈αC␈αD)␈ε#␈α⊃]␈↓ ¬;␈ε#=␈↓ ¬f␈ε3[␈↓ ¬o␈ε)a␈↓ ε¬␈ε3(D␈αC)]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈αεB␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈↓ λ⊃␈ε)d␈↓ λ)␈ε3(D␈αC)␈ε#␈αε]␈αε]
␈β
&␈↓ ¬o␈∧
&¬oα⊃␈↓ λ⊃␈∧
&λ⊃α∪
␈β
3␈↓ ¬;␈ε#=␈↓ ¬f␈ε3[␈αD␈α]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈αεB␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈α⊃(C)␈ε#␈α⊃]␈αε]
␈β
[␈↓ ¬;␈ε#=␈↓ ¬f␈ε3D␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈αεB␈α.␈α(C)␈ε#␈αε]
␈ββ␈↓ ¬;␈ε#=␈↓ ¬f␈ε3D␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈α⊃(B␈αC)␈ε#␈α⊃]
␈β*␈↓ ¬;␈ε#=␈↓ ¬f␈ε3D␈α.␈α(C␈αB)
␈βR␈↓ ¬;␈ε#=␈↓ ¬f␈ε3(D␈αC␈αB)␈ε0.
␈β↔␈↓ ↓H␈ε#An␈α␈d␈α|␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈α␈,␈αw␈α␈e␈αge␈α␈t
␈β\␈↓ β1␈ε0r5␈ε#␈α␈[␈ε3␈α⊃(A␈αB␈αC␈αD)␈ε#␈α⊃]␈↓ ¬0␈ε#=␈↓ ¬[␈ε3[␈↓ ¬d␈ε)a␈↓ ¬z␈ε3(D␈αC␈αB)]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈α¬A␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈↓ λ)␈ε)d␈↓ λA␈ε3(D␈αC␈αB␈α↓)␈ε#␈α¬]␈αε]
␈βv␈↓ ¬d␈∧v¬dα⊃␈↓ λ)␈∧vλ)α∪
␈β
β␈↓ ¬0␈ε#=␈↓ ¬[␈ε3[␈αD␈α]␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈αεA␈α.␈ε0␈αr5␈ε#␈α␈[␈ε3␈α⊃(C␈αB)␈ε#␈α⊃]␈αε]
␈β
+␈↓ ¬0␈ε#=␈↓ ¬[␈ε3D␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈α¬A␈α.␈α(B␈αC)␈ε#␈αε]
␈β
S␈↓ ¬0␈ε#=␈↓ ¬[␈ε3D␈α.␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε3␈α⊃(A␈αB␈αC)␈ε#␈α⊃]
␈β
z␈↓ ¬0␈ε#=␈↓ ¬[␈ε3D␈α.␈α(C␈αB␈αA)
␈β∞"␈↓ ¬0␈ε#=␈↓ ¬[␈ε3(D␈αC␈αB␈αA)␈ε0.
␈β∞i␈↓ α␈ε#On␈α␈e␈αcou␈α␈l␈α↓d␈α
use␈α
i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α
to␈α(i␈α↓n␈α␈form␈α␈all␈α↓y␈α␈)␈αpro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈ε0␈αr5␈↓ λ-␈ε#=␈↓ λX␈ε0re␈α␈v␈α␈erse␈ε#␈α␈,␈αa␈α␈s␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"2
␈β⊃∂

␈β↓L␈↓ ↓H␈ε2Base␈αStep:
␈β↓O␈↓ αl␈ε#:␈↓ β∞␈ε)n␈↓ β(␈ε0u␈ε7␈α
←␈↓ βh␈ε)n␈↓ ∧α␈ε)d␈↓ ∧~␈ε0u␈ε7␈α)␈ε0␈αr5␈ε#[␈ε0␈α¬u␈ε#␈α¬]␈↓ ¬F␈ε#=␈↓ ¬q␈ε0u␈↓ ε_␈ε#=␈↓ εB␈ε0rev␈α}erse␈ε#[␈ε0␈αεu␈ε#␈α¬]
␈β↓i␈↓ β∞␈∧↓iβ∞α∃␈↓ βh␈∧↓iβhα∃␈↓ ∧α␈∧↓i∧αα∪
␈β↓p␈↓ ↓H␈∧↓p↓Hα↓$
␈βα␈↓ ↓H␈ε2Induction:
␈βα∞␈↓ αh␈ε#:
␈βα(␈↓ ↓H␈∧α(↓Hα↓ 
␈βαz␈↓ ↓H␈ε0r5␈ε#␈α␈[␈ε0␈αεu␈ε#␈α¬]␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε)a␈↓ α←␈ε0[r5[␈↓ β∂␈ε)d␈↓ β'␈ε0u]]␈α.␈αr5␈α␈[␈↓ ∧∪␈ε)a␈↓ ∧(␈ε0u␈α.␈αr5[␈↓ ¬␈ε)d␈↓ ¬$␈ε0[␈α↓r5␈α
[␈↓ ¬`␈ε)d␈↓ ¬x␈ε0u␈α␈]]␈α↓]
␈ββ∀␈↓ αI␈∧β∀αIα⊃␈↓ β∂␈∧β∀β∂α∪␈↓ ∧∪␈∧β∀∧∪α⊃␈↓ ¬␈∧β∀¬α∪␈↓ ¬`␈∧β∀¬`α∪
␈ββ"␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε)a␈↓ α←␈ε0[rev␈α␈e␈α␈rse␈ε#[␈↓ β\␈ε)d␈↓ βt␈ε0u␈ε#␈α¬]␈ε0]␈α.␈αrev␈α}erse␈ε#[␈↓ ¬2␈ε)a␈↓ ¬H␈ε0u␈α
.␈αr␈α␈ev␈α␈erse␈ε#␈α␈[␈↓ εx␈ε)d␈↓ π⊂␈ε0[␈α↓r␈α␈ev␈α␈erse␈ε#␈α
[␈↓ λ_␈ε)d␈↓ λ0␈ε0u␈ε#␈α¬]␈αε]␈αε]
␈ββ<␈↓ αI␈∧β<αIα⊃␈↓ β\␈∧β<β\α∪␈↓ ¬2␈∧β<¬2α⊃␈↓ εx␈∧β<εxα∪␈↓ λ_␈∧β<λ_α∪
␈ββJ␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε3<␈↓ αv␈ε)a␈↓ β␈ε3[␈ε0rev␈α}erse␈ε#[␈↓ ∧λ␈ε)d␈↓ ∧ ␈ε3u␈ε#␈α¬]␈ε3␈α↓]␈α>␈ε0␈α*␈αrev␈α␈e␈α␈rse␈ε#[␈ε3␈αε<␈↓ ε>␈ε)a␈↓ εT␈ε3u␈α>␈ε0␈α*␈αrev␈α}erse␈ε#[␈↓ λ9␈ε)d␈↓ λQ␈ε0[rev␈α}erse␈ε#␈α[␈↓ 	Y␈ε)d␈↓ 	q␈ε0u␈ε#␈α¬]␈α¬]␈αε]
␈ββd␈↓ αv␈∧βdαvα⊃␈↓ ∧λ␈∧βd∧λα∪␈↓ ε>␈∧βdε>α⊃␈↓ λ9␈∧βdλ9α∪␈↓ 	Y␈∧βd	Yα∪
␈ββq␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε3<␈↓ αv␈ε)a␈↓ β␈ε3[␈ε0rev␈α}erse␈ε#[␈↓ ∧λ␈ε)d␈↓ ∧ ␈ε3u␈ε#␈α¬]␈ε3␈α↓]␈α>␈ε0␈α*␈α[rev␈α␈ers␈α␈e␈ε#␈α[␈ε0␈αεrev␈α}erse␈ε#[␈↓ π%␈ε)d␈↓ π=␈ε0[rev␈α}erse␈ε#␈α[␈↓ λE␈ε)d␈↓ λ]␈ε0u␈ε#␈α¬]␈αε]␈αε]␈ε0]]␈α*␈αrev␈α}erse␈ε#[␈ε3␈αε<␈↓ 
u␈ε)a␈↓ ␈ε3u␈α>␈ε#␈αε]
␈β∧␈↓ αv␈∧∧αvα⊃␈↓ ∧λ␈∧∧∧λα∪␈↓ π%␈∧∧π%α∪␈↓ λE␈∧∧λEα∪␈↓ 
u␈∧∧
uα⊃
␈β∧→␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε3<␈↓ αv␈ε)a␈↓ β␈ε3[␈ε0rev␈α}erse␈ε#[␈↓ ∧λ␈ε)d␈↓ ∧ ␈ε3u␈ε#␈α¬]␈ε3␈α↓]␈α>␈ε0␈α*␈α[␈↓ ¬3␈ε)d␈↓ ¬K␈ε0[rev␈α}erse␈ε#␈α[␈↓ εS␈ε)d␈↓ εk␈ε0u␈ε#␈α¬]␈ε0]␈α*␈ε3␈α<␈↓ πh␈ε)a␈↓ π}␈ε3u␈α>␈ε0␈α]
␈β∧3␈↓ αv␈∧∧3αvα⊃␈↓ ∧λ␈∧∧3∧λα∪␈↓ ¬3␈∧∧3¬3α∪␈↓ εS␈∧∧3εSα∪␈↓ πh␈∧∧3πhα⊃
␈β∧@␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αj␈ε#;␈αa␈α␈s␈α(␈α↓1␈α␈)␈αrev␈α␈ers␈α␈e␈α[␈α↓re␈α␈v␈α␈erse␈αx␈α␈]␈α=␈αx␈α
&␈α(2)␈αrev␈α␈e␈α␈rse␈αof␈αsing␈α␈l␈α↓et␈α␈on␈α<␈αx␈α>␈αis␈αx
␈β∧h␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε0[␈ε3<␈↓ α␈␈ε)a␈↓ β∃␈ε3[␈ε0rev␈α}erse␈ε#[␈↓ ∧∩␈ε)d␈↓ ∧*␈ε3u␈ε#␈α¬]␈ε3]␈α>␈ε0␈α*␈↓ ¬'␈ε)d␈↓ ¬?␈ε0[␈α↓re␈α␈v␈α␈erse␈ε#␈α[␈↓ εG␈ε)d␈↓ ε←␈ε0u␈ε#␈α¬]␈ε0␈α↓]␈α]␈α*␈ε3␈α<␈↓ πr␈ε)a␈↓ λλ␈ε3u␈α
>
␈β¬α␈↓ α␈␈∧¬αα␈α⊃␈↓ ∧∩␈∧¬α∧∩α∪␈↓ ¬'␈∧¬α¬'α∪␈↓ εG␈∧¬αεGα∪␈↓ πr␈∧¬απrα⊃
␈β¬⊂␈↓ α7␈ε#;␈αb␈α␈y␈αasso␈α␈ciativity␈α
of␈α*
␈β¬7␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε0[␈↓ αR␈ε)a␈↓ αh␈ε0[␈α↓re␈α␈v␈α␈erse␈ε#␈α␈[␈↓ βe␈ε)d␈↓ β⎇␈ε0u␈ε#␈α¬]␈ε0␈α↓]␈α.␈↓ ∧G␈ε)d␈↓ ∧←␈ε0[rev␈α␈erse␈ε#␈α
[␈↓ ¬g␈ε)d␈↓ ¬␈␈ε0u␈ε#␈α¬]␈ε0␈α↓]␈α]␈α*␈ε3␈α<␈↓ π⊃␈ε)a␈↓ π'␈ε3u␈α>
␈β¬Q␈↓ αR␈∧¬QαRα⊃␈↓ βe␈∧¬Qβeα∪␈↓ ∧G␈∧¬Q∧Gα∪␈↓ ¬g␈∧¬Q¬gα∪␈↓ π⊃␈∧¬Qπ⊃α⊃
␈β¬←␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε0rev␈α}erse␈ε#[␈↓ β=␈ε)d␈↓ βU␈ε0u␈ε#␈α¬]␈ε0␈α*␈ε3␈α<␈↓ ∧I␈ε)a␈↓ ∧←␈ε3u␈α>
␈β¬y␈↓ β=␈∧¬yβ=α∪␈↓ ∧I␈∧¬y∧Iα⊃
␈βεε␈↓ α∨␈ε#=␈↓ αI␈ε0rev␈α}erse␈ε#[␈ε0␈αεu␈ε#␈α¬]
␈βπ-␈↓ ¬␈ε3Qu␈α␈estion␈ε7␈αq␈ε3␈α␈5␈α([MT]p9␈ε7␈αq␈ε#␈α␈1)␈ε3.
␈βπf␈↓ ↓a␈ε1W␈α␈ha␈α↓t␈α
i␈α␈s␈α
the␈α
value␈α
of␈ε4␈α
<␈α∃A␈α∀.␈↓ ∧y␈ε*a␈↓ ¬
␈ε4(B␈α.␈α
C␈α␈)␈α↓,␈α	D␈α
.␈↓ ε2␈ε*d␈↓ εH␈ε4(B␈α.␈α	C)␈α>␈ε1␈α␈.
␈βπ}␈↓ ∧y␈∧π}∧yα∂␈↓ ε2␈∧π}ε2α⊃
␈βλ ␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈βλ%␈↓ α;␈ε1:
␈βλ=␈↓ ↓H␈∧λ=↓Hαt
␈βλF␈↓ β⊂␈ε3<␈α⊗A␈α⊗.␈↓ ∧∃␈ε)a␈↓ ∧+␈ε3(B␈α.␈αC),␈αD␈α.␈↓ ¬↑␈ε)d␈↓ ¬v␈ε3(B␈α.␈αC)␈α>␈↓ π≥␈ε#=␈↓ πG␈ε3<␈α↔A␈α⊗.␈α⊗B␈α↓,␈αD␈α.␈αC␈α>
␈βλ`␈↓ ∧∃␈∧λ`∧∃α⊃␈↓ ¬↑␈∧λ`¬↑α∪
␈βλn␈↓ π≥␈ε#=␈↓ πG␈ε0(␈α(A␈α.␈αB)␈α(D␈α.␈αC)␈α)
␈β	;␈↓ ↓H␈∧	;↓Hαβ1
␈β	=␈↓ α␈ε1What␈απdo␈αλthe␈αεf␈α↓ol␈α␈lo␈α␈wing␈απf␈α↓unc␈α␈tions␈απ(6␈α↓-8)␈αλdo?␈α	Fo␈α↓r␈απe␈α␈a␈α↓c␈α␈h,␈αλpro␈α␈vide␈αεa␈αλconc␈α␈ise␈απprose␈απansw␈α␈er,␈απa␈απcouple
␈β	]␈↓ ↓l␈ε1of␈αe␈α␈xampl␈α␈e␈αi␈α␈nput/o␈α↓ut␈α␈put␈αpair␈α␈s,␈α
a␈α↓nd␈α
a␈αbri␈α␈ef␈αe␈α␈xplanation␈α
o␈α↓f␈α
why/ho␈α␈w␈αi␈α␈t␈αw␈α␈orks.␈α
A␈α↓r␈α␈e␈αt␈α␈here␈α
an␈α␈y
␈β	}␈↓ ↓l␈ε1re␈α␈stri␈α␈cti␈α␈o␈α↓ns␈α
on␈α
the␈α
argumen␈α␈ts␈α
(e␈α␈.g.,␈α
\the␈α
s␈α␈econd␈α
arg␈α↓um␈α␈en␈α␈t␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α	a␈αl␈α␈ist␈α
of␈αl␈α␈ist␈α␈s"␈α↓)?
␈β
~␈↓ ↓H␈∧
~↓Hαβ1
␈β
t␈↓ ¬o␈ε4Que␈α␈stion␈ε8␈α
q␈ε46␈α↓.
␈βf␈↓ βH␈ε4(DEF␈α↓UN␈↓ ∧K␈ε4DP␈↓ ¬4␈ε4(␈α↓X)
␈βε␈↓ ∧K␈ε4(COND␈↓ ¬4␈ε4(␈α↓(A␈α⎇TOM␈αX)␈↓ εZ␈ε$0␈ε4)
␈β'␈↓ ¬4␈ε4(␈α↓T␈↓ εZ␈ε4(M␈α↓AX␈↓ π,␈ε4(ADD1␈α
(DP␈α
(CAR␈α
U)␈α↓))
␈βG␈↓ π,␈ε4(DP␈α
(CD␈α␈R␈αU)))))␈α↓)
␈β
∨␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β
$␈↓ α;␈ε1:
␈β
<␈↓ ↓H␈∧
<↓Hαt
␈β
J␈↓ α␈ε)N␈↓ α+␈ε)O␈↓ αC␈ε)T␈↓ αZ␈ε)E␈↓ αq␈ε0:␈α∂w␈α␈e␈α
de␈α␈|n␈α␈e␈α
MAX␈ε#[␈ε0␈α∩x,y␈ε#␈α∩]␈↓ ¬j␈ε7(␈↓ ε_␈ε3if␈↓ ε9␈ε0x␈ε#␈α␈>␈ε0␈α↓y␈↓ π␈ε3th␈α␈en␈↓ πZ␈ε0x␈↓ πy␈ε3else␈↓ λ:␈ε0y␈αan␈α␈d␈αwe␈αde␈α␈|n␈α␈e␈α
ADD1␈αby
␈β
d␈↓ α␈∧
dααf␈↓ ε_␈∧
dε_α∃␈↓ π␈∧
dπαA␈↓ πy␈∧
dπyα4
␈β
q␈↓ ↓H␈ε3(DEFUN␈αADD1␈α(G)␈α(PLUS␈ε#␈α
1␈ε3␈αG))␈ε0.
␈β∞→␈↓ α␈ε#This␈αfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αc␈α␈omp␈α␈utes␈αthe␈αDePth␈αo␈α␈f␈αits␈αarg␈α␈um␈α␈en␈α␈t,␈αviewin␈α␈g␈αth␈α␈is␈αS-ex␈α␈pre␈α␈ssion␈αas␈αa
␈β∞A␈↓ ↓H␈ε#list␈αo␈α␈f␈αlists.␈α
Ta␈α␈k␈α␈e␈αan␈α␈y␈αa␈α␈tom␈αin␈αthis␈αS␈α␈-ex␈α␈pressio␈α␈n,␈αan␈α␈d␈αco␈α␈nside␈α␈r␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈α\␈α␈("s,␈α\␈α␈)␈α↓"␈α␈s,
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
\."s␈αin␈αfron␈α}t␈αof␈αi␈α↓t.␈αTheir␈αd␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ce␈α(i.e.␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈α\␈α␈("␈αmin␈α␈u␈α␈s␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈α\)"
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"3
␈β⊃∂

␈β↓T␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α	\␈α␈."s)␈α	may␈α	b␈α␈e␈α	con␈α␈sidere␈α␈d␈α	the␈α	d␈α␈ep␈α␈th␈α	of␈α	this␈α	ato␈α␈m.␈αTh␈α␈e␈α	max␈α␈imal␈α	dep␈α␈th,␈α
o␈α}v␈α␈er␈α	a␈α␈l␈α↓l␈α	ato␈α␈ms,
␈β↓{␈↓ ↓H␈ε#is␈αth␈α␈e␈αdep␈α␈th␈αo␈α␈f␈αt␈α␈his␈αS-ex␈α␈pre␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n;␈αan␈α␈d␈αis␈αpre␈α␈cisely␈αwha␈α␈t␈ε0␈αDP␈ε#␈αc␈α␈omp␈α␈utes.
␈βα&␈↓ α␈ε#Note␈α␈:␈αTh␈α␈is␈α	is␈α	NOT␈α	th␈α␈e␈α	de␈α␈pth␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	S␈α␈-exp␈α␈ression␈α␈,␈α
wh␈α␈en␈α	it␈α	is␈α	v␈α␈iew␈α␈ed␈α	a␈α␈s␈α	a␈αλbina␈α␈ry␈α	tre␈α␈e.
␈βαN␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈α
d␈α␈e|n␈α␈ation␈αo␈α␈f␈α
d␈α␈epth␈αw␈α↓ill␈α
d␈α␈epe␈α␈nd␈αo␈α␈n␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
me␈α␈m␈α␈bers␈αof␈αthis␈αli␈α↓st.␈α∂E.G.␈α
The
␈βαu␈↓ ↓H␈ε#S␈α␈-exp␈α␈ression␈αtre␈α␈e␈α
co␈α␈rresp␈α␈ond␈α␈ing␈αto␈ε3␈α(1␈α
2␈α3)␈ε#␈αw␈α␈ould␈αb␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
de␈α␈pth␈α3,␈α
alth␈α␈ou␈α␈gh␈αits␈ε0␈α
DP␈ε#␈α
v␈α␈alue
␈ββ≥␈↓ ↓H␈ε#is␈α1␈α␈.␈αTo␈α
get␈αth␈α␈is␈αoth␈α␈er␈αde␈α␈pth␈α␈,␈αw␈α↓r␈α␈i␈α↓te␈α
a␈αmo␈α␈re␈αsym␈α␈metric␈αv␈α}ersion␈α
of␈ε0␈αDP␈ε#␈αby␈α
ad␈α␈ding␈α
1␈αto␈α
the
␈ββD␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈axim␈α␈u␈α␈m␈αof␈αthe␈αd␈α␈epth␈α␈s␈αof␈αboth␈α
da␈α␈ugh␈α}ters.␈α[I.E␈α↓.␈αCha␈α␈ng␈α␈e␈αth␈α␈e␈ε3␈αT␈ε#␈αc␈α␈l␈α↓a␈α␈use␈αto␈ε3␈α(ADD1␈α(M␈α␈AX
␈ββl␈↓ ↓H␈ε3(DP␈α(CAR␈αU))␈α(DP␈α(CDR␈αX))))␈ε#␈α↓.]
␈β∧↔␈↓ α␈ε#Exa␈α␈mples␈αo␈α␈f␈αo␈α␈utp␈α␈ut:
␈β∧B␈↓ ¬⊂␈ε0D␈α␈P␈ε#␈α↓[␈ε0␈α⊃(1␈α(2␈α␈)␈α((3␈α␈))␈α)␈ε#␈α⊂]␈↓ π;␈ε#=␈α
3
␈β∧j␈↓ ¬⊂␈ε0D␈α␈P␈ε#␈α↓[␈ε0␈α⊃(1␈α(2␈α␈)␈α.␈α((3))␈α)␈ε#␈α⊃]␈↓ π;␈ε#=␈α
2
␈β¬V␈↓ ↓H␈ε2Wh␈α␈y␈αit␈αw␈α␈orks
␈β¬Y␈↓ β≡␈ε#:␈α∀Th␈α␈e␈α	d␈α␈epth␈αλof␈α	a␈α	list␈α	is␈α	the␈αλmax␈α␈imal␈α	de␈α␈pth␈αλof␈α	an␈α}y␈α	o␈α␈f␈α
its␈α	m␈α␈em␈α␈be␈α␈rs.␈αTh␈α␈at␈α	is,
␈β¬z␈↓ ↓H␈∧¬z↓Hα↓V
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε#it␈αi␈α↓s␈αthe␈αde␈α␈pth␈αof␈αa␈αp␈α␈articu␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈αme␈α␈m␈α␈ber␈α␈,␈αor␈αth␈α␈e␈αm␈α␈axima␈α␈l␈αde␈α␈pth␈αof␈αan␈αsub␈α␈seq␈α␈uen␈α}t␈αen␈α}tries,
␈βε)␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ichev␈α}er␈αi␈α↓s␈αlarge␈α␈r.␈α
The␈αde␈α␈pth␈αo␈α␈f␈αan␈αelem␈α␈en␈α␈t␈αwi␈α↓th␈α␈in␈αa␈αlist␈αis␈αthe␈αde␈α␈pth␈αof␈αtha␈α␈t␈αme␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βεP␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈α
itself,␈αplu␈α␈s␈αo␈α␈ne,␈α
as␈α
i␈α↓t␈α
is␈αin␈α
a␈α
list.␈αKno␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
dep␈α␈th␈α
of␈α
an␈α
a␈α␈tom␈α
is␈α0␈α␈,␈αw␈α␈e␈α
see␈α
wh␈α␈y
␈βεx␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈αde|␈α␈nition␈α
wi␈α↓ll␈αw␈α␈ork.
␈βπ#␈↓ α␈ε#This␈αca␈α␈n␈αtak␈α}e␈αan␈α}y␈αS␈α␈-exp␈α␈ression␈α
as␈αinp␈α␈ut.
␈βλF␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε37␈α␈.
␈β	N␈↓ βi␈ε1ag␈ε$[␈ε1␈α¬u,n,␈α␈m␈ε$␈α¬]␈↓ ¬α␈ε8(␈↓ ¬)␈ε4i␈α␈f␈↓ ¬F␈ε*n␈↓ ¬]␈ε1u␈↓ ¬y␈ε4t␈α␈hen␈↓ ε>␈ε1NIL
␈β	f␈↓ ¬)␈∧	f¬)α∪␈↓ ¬F␈∧	f¬Fα∪␈↓ ¬y␈∧	f¬yα<
␈β	n␈↓ ¬y␈ε4e␈α␈lse␈α␈if␈↓ εE␈ε1m␈↓ εg␈ε$>␈αλ1␈↓ π(␈ε4the␈α␈n␈↓ πm␈ε1a␈α↓g␈ε$[␈↓ λ~␈ε*d␈↓ λ/␈ε1u,n,␈α␈m-1␈ε$␈α¬]
␈β
ε␈↓ ¬y␈∧
ε¬yαC␈↓ π(␈∧
επ(α<␈↓ λ~␈∧
ελ~α⊃
␈β
∂␈↓ π(␈ε4e␈α␈lse␈↓ πa␈ε*a␈↓ πu␈ε4u␈α.␈ε1␈α	a␈α↓g␈ε$[␈↓ λP␈ε*d␈↓ λe␈ε4u,␈α¬n,␈α¬n␈ε$␈α¬]
␈β
'␈↓ π(␈∧
'π(α0␈↓ πa␈∧
'πaα∂␈↓ λP␈∧
'λPα⊃
␈ββ␈↓ ¬	␈ε,t␈↓ ¬∩␈ε,h␈↓ 	(␈ε,t␈↓ 	2␈ε,h
␈β∧␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈βπ␈↓ α\␈ε#This␈αretu␈α␈rns␈αev␈α}ery␈↓ ∧u␈ε)n␈↓ ¬+␈ε#en␈α}try␈αo␈α␈f␈αa␈αli␈α↓st,␈αstar␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αfrom␈α
the␈↓ 	␈ε)m␈↓ 	?␈ε#.
␈β	␈↓ α;␈ε1:
␈β!␈↓ ↓H␈∧!↓Hαt
␈βV␈↓ λi␈ε,r␈↓ λu␈ε,d
␈βW␈↓ ↓H␈ε2Wh␈α␈y␈αit␈αw␈α␈orks
␈βZ␈↓ β≡␈ε#:␈α∀B␈α↓a␈α␈sically,␈α
th␈α␈is␈α
fu␈α␈nctio␈α␈n␈α	cou␈α␈n␈α␈ts␈α	d␈α␈o␈α␈wn,␈α
u␈α␈sing␈α	its␈↓ λX␈ε#3␈↓ 	
␈ε#ar␈α␈gum␈α␈en␈α␈t.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈α	th␈α␈is
␈β{␈↓ ↓H␈∧{↓Hα↓V
␈β}␈↓ λ⊂␈ε,t␈↓ λ~␈ε,h
␈βα␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈oun␈α}t␈αrea␈α␈che␈α␈s␈α0,␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α␈t␈α|rst␈αelemen␈α}t,␈αwhich␈αi␈α↓s␈αthe␈αm␈↓ λ3␈ε#v␈α␈alue␈αof␈αth␈α␈e␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈inal␈αlist,␈αis
␈β%␈↓ $␈ε,r␈↓ 0␈ε,d
␈β)␈↓ ↓H␈ε3c␈α␈ons␈ε#e␈α␈d␈αto␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αob␈α␈tained␈αwh␈α␈en␈αthe␈αr␈α␈emain␈α␈der␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αl␈α↓ist␈αis␈αsc␈α␈an␈α␈ned␈α␈.␈α∞Her␈α␈e,␈α
t␈α␈his␈↓ ∪␈ε#3
␈βM␈↓ π¬␈ε,n␈↓ π∃␈ε,d␈↓ '␈ε,t␈↓ 1␈ε,h
␈βQ␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α
is␈α
re|␈α␈ll␈α↓ed␈α	usin␈α␈g␈α
the␈α
v␈α␈alu␈α␈e␈α
held␈α
in␈α
t␈α␈he␈↓ εt␈ε#2␈↓ π.␈ε#a␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α
slot␈α␈.␈αHe␈α␈nce␈α␈f␈α↓o␈α␈rth,␈α
ev␈α␈e␈α␈ry␈α
n
␈βy␈↓ ↓H␈ε#v␈α␈alue␈αwill␈α
b␈α␈e␈αen␈α␈ter␈α␈red␈αin␈α␈to␈αth␈α␈e␈αl␈α↓ist␈αev␈α}en␈α␈tu␈α␈ally␈αretu␈α␈rned␈α␈.␈α∂This␈αend␈α␈s␈αwhen␈αth␈α␈e␈αrema␈α␈i␈α↓n␈α␈ing
␈β
 ␈↓ ↓H␈ε#list␈αis␈ε3␈αNIL␈ε#␈α↓.
␈β
K␈↓ α␈ε3u␈ε#␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α
a␈α∞list,␈α∂else␈α
an␈α
error␈α
can␈α
be␈α
exp␈α␈ecte␈α␈d␈α∞wh␈α␈en␈α
tha␈α␈t␈α∞|n␈α␈al␈α∞n␈α␈on␈α␈-␈ε3␈α↓N␈α␈I␈α↓L␈ε#␈α
atom␈α
is
␈β
s␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xam␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈α␈.␈α∂W␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈αth␈α␈e␈α|rst␈↓ ¬λ␈ε)n␈↓ ¬"␈ε#u␈αtest␈αfail␈α↓s␈α␈,␈ε3␈α
m␈ε#␈αwi␈α↓ll␈αbe␈αco␈α␈mpa␈α␈red␈αwith␈α1.␈α∞I␈α↓f␈αit␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αan
␈β∞
␈↓ ¬λ␈∧∞
¬λα∃
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger,␈α
this␈α>␈α
comp␈α␈arison␈α
m␈α␈ay␈α
b␈α␈e␈αu␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈.␈αI␈α↓f␈α
ev␈α␈e␈α␈r␈αth␈α␈e␈α|␈α␈na␈α␈l␈ε0␈αelse␈ε#␈α
clau␈α␈se␈αis␈α
tak␈α␈e␈α␈n,␈αth␈α␈en
␈β∞B␈↓ ↓H␈ε3n␈ε#␈α␈'s␈αv␈α␈alue␈αwill␈αbe␈αu␈α␈sed.␈αAga␈α␈i␈α↓n␈α␈,␈αif␈αth␈α␈e␈ε3␈αu␈ε#␈αslot␈αhere␈αis␈αn␈α␈ot␈αn␈α␈u␈α␈ll␈α↓,␈αthis␈ε3␈αn␈ε#␈α
valu␈α␈e,␈αn␈α␈o␈α␈w␈α|␈α␈ll␈α↓in␈α␈g␈ε3␈αm␈ε#'s
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε#ro␈α␈le,␈αwill␈αb␈α␈e␈αco␈α␈mpa␈α␈red␈αwith␈α1␈α␈;␈αa␈α␈nd␈α
so␈αit␈αsho␈α␈uld␈αh␈α␈av␈α}e␈αan␈αin␈α}teger␈αv␈α␈alue␈α␈.
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"4
␈β⊃∂

␈β↓U␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε38␈α␈.
␈βαY␈↓ β;␈ε1f9␈ε$␈α↓[␈ε1␈α∧u,v␈ε$␈α¬]␈↓ ∧-␈ε8(␈↓ ∧T␈ε4if␈↓ ∧q␈ε*n␈↓ ¬	␈ε1u␈ε8␈α
←␈↓ ¬D␈ε*n␈↓ ¬\␈ε1v␈↓ ¬w␈ε4the␈α␈n␈↓ ε=␈ε$0␈↓ εV␈ε4el␈α␈se␈↓ π⊂␈ε*a␈↓ π$␈ε1u␈ε8␈α
α␈↓ πh␈ε*a␈↓ π|␈ε1v␈ε$␈α
+␈ε1␈α
f9␈ε$␈α↓[␈↓ λg␈ε*d␈↓ λ⎇␈ε1u,␈↓ 	⊗␈ε*d␈↓ 	,␈ε1v␈ε$␈α¬]
␈βαq␈↓ ∧T␈∧αq∧Tα∪␈↓ ∧q␈∧αq∧qα∪␈↓ ¬D␈∧αq¬Dα∪␈↓ ¬w␈∧αq¬wα<␈↓ εV␈∧αqεVα0␈↓ π⊂␈∧αqπ⊂α∂␈↓ πh␈∧αqπhα∂␈↓ λg␈∧αqλgα⊃␈↓ 	⊗␈∧αq	⊗α⊃
␈ββF␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈ββI␈↓ α\␈ε#This␈αcom␈α␈pu␈α␈tes␈αthe␈αd␈α␈ot␈αp␈α␈rod␈α␈uct␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αv␈α␈e␈α␈ctors␈ε3␈αu␈ε#␈α
an␈α␈d␈ε3␈αv␈ε#.
␈ββK␈↓ α;␈ε1:
␈ββc␈↓ ↓H␈∧βc↓Hαt
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε2Wh␈α␈y␈αis␈αw␈α␈orks?
␈β∧⊗␈↓ β,␈ε#:␈α⊃The␈αλd␈α␈ot␈αλpro␈α␈du␈α␈ct␈αλof␈αλt␈α␈w␈α␈o␈↓ ε→␈ε)n␈↓ ε-␈ε#-dime␈α␈nsion␈α␈al␈αλv␈α␈ect␈α␈ors␈αλis␈α	t␈α␈he␈αλsu␈α␈m␈αλof␈αλthe␈αλp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t
␈β∧7␈↓ ↓H␈∧∧7↓Hα↓d
␈β∧=␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈απthe␈απ|␈α␈rst␈απ(resp␈α␈ectiv␈α␈e)␈απp␈α␈air␈απof␈απv␈α␈alues,␈αλp␈α␈lus␈απth␈α␈e␈απdo␈α␈t␈απpro␈α␈du␈α␈ct␈απof␈απth␈α␈e␈απpa␈α␈i␈α↓r␈απo␈α␈f␈↓ 	=␈ε)n␈↓ 	S␈ε7␈␈ε#␈αβ1␈α␈-dimen␈α␈siona␈α␈l
␈β∧e␈↓ ↓H␈ε#v␈α}ecto␈α␈rs␈αwhich␈αre␈α␈main.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αis␈αpre␈α␈cisely␈αwha␈α␈t␈ε0␈αf9␈ε#␈αcom␈α␈pu␈α␈tes.
␈β¬∂␈↓ α␈ε0u␈ε#␈αa␈α␈nd␈ε0␈αv␈ε#␈αm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αl␈α↓ists,␈αw␈α↓h␈α␈ose␈αe␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈ts␈αa␈α␈re␈αall␈α
n␈α}ume␈α␈ri␈α↓c␈α␈.␈α∂Their␈αrelativ␈α}e␈αl␈α↓e␈α␈ngth␈α␈es␈αare
␈β¬6␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈con␈α␈sequ␈α␈en␈α␈tia␈α␈l␈α↓,␈αas␈ε0␈αf9␈ε#␈αwill␈αs␈α␈top␈αwh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈αeith␈α␈er␈αli␈α↓st␈αte␈α␈rmina␈α␈tes.
␈βεO␈↓ ¬g␈ε3Questio␈α␈n␈ε7␈αq␈ε39␈α␈.
␈βπP␈↓ βI␈ε1o␈α↓c␈ε$␈α␈[␈ε1␈α¬x,␈α␈u␈ε$␈α¬]␈↓ ∧?␈ε8(␈↓ ∧f␈ε4i␈α␈f␈↓ ¬β␈ε*n␈↓ ¬~␈ε1u␈↓ ¬5␈ε4then␈↓ ¬{␈ε$0
␈βπh␈↓ ∧f␈∧πh∧fα∪␈↓ ¬β␈∧πh¬βα∪␈↓ ¬5␈∧πh¬5α<
␈βπq␈↓ ¬5␈ε4el␈α␈se␈↓ ¬o␈ε1oc␈ε$[␈ε1␈α¬x,␈↓ ε3␈ε*d␈↓ εI␈ε1u␈ε$␈α¬]␈α
+␈ε1␈α
[␈↓ π#␈ε4if␈↓ π@␈ε1x␈↓ πZ␈ε$=␈↓ λ↓␈ε*a␈↓ λ∃␈ε1u␈↓ λ0␈ε4the␈α␈n␈↓ λv␈ε$1␈↓ 	∂␈ε4el␈α␈se␈↓ 	I␈ε$0␈ε1]
␈βλ	␈↓ ¬5␈∧λ	¬5α0␈↓ ε3␈∧λ	ε3α⊃␈↓ π#␈∧λ	π#α∪␈↓ λ↓␈∧λ	λ↓α∂␈↓ λ0␈∧λ	λ0α<␈↓ 	∂␈∧λ		∂α0
␈βλ;␈↓ α␈ε1What␈αis␈αoc␈ε$[␈ε4␈α⊂B,␈α(A␈αB␈αC␈αQ␈αB␈αA␈αR)␈ε$␈α⊂]␈ε1?␈α
oc␈ε$[␈ε4␈α⊂4,␈α(␈α↓1␈α2␈α(3␈α4)␈αT␈α↓)␈ε$␈α⊂]␈ε1?␈α
How␈αdoes␈αo␈α↓c␈α
di{e␈α␈r␈αfrom␈αoc2,
␈βλ[␈↓ ↓H␈ε1de␈α␈|ned␈α
as␈α
f␈α↓ol␈α␈lo␈α␈w␈α↓s␈α␈:
␈β	≠␈↓ β*␈ε1o␈α↓c␈α␈2␈ε$␈α↓[␈ε1␈α∧x,u␈ε$␈α¬]␈↓ ∧/␈ε8(␈↓ ∧V␈ε4if␈↓ ∧s␈ε1x␈↓ ¬↔␈ε$=␈↓ ¬>␈ε1u␈↓ ¬Y␈ε4then␈↓ ε∨␈ε$1
␈β	3␈↓ ∧V␈∧	3∧Vα∪␈↓ ¬Y␈∧	3¬Yα<
␈β	<␈↓ ¬Y␈ε4el␈α␈sei␈α␈f␈↓ ε&␈ε4at␈↓ εF␈ε1u␈↓ εa␈ε4then␈↓ π'␈ε10
␈β	T␈↓ ¬Y␈∧	T¬YαC␈↓ ε&␈∧	Tε&α≤␈↓ εa␈∧	Tεaα<
␈β	\␈↓ εa␈ε4el␈α␈se␈↓ π≠␈ε1oc2␈ε$[␈ε1␈α¬x,␈↓ πn␈ε*d␈↓ λ∧␈ε1u␈ε$␈α¬]␈α
+␈ε1␈α
oc2␈ε$[␈ε1␈α∧x,␈↓ 	)␈ε*a␈↓ 	=␈ε1u␈ε$␈α¬]
␈β	t␈↓ εa␈∧	tεaα0␈↓ πn␈∧	tπnα⊃␈↓ 	)␈∧	t	)α∂
␈β
G␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β
J␈↓ α↑␈ε0oc␈ε#␈αcomp␈α␈ute␈α␈s␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αti␈α↓m␈α␈e␈αthe␈α|rst␈αa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈αo␈α␈ccu␈α␈rs␈αin␈αth␈α␈e␈αseco␈α␈nd␈α␈.␈α∞So
␈β
L␈↓ α;␈ε1:
␈β
d␈↓ ↓H␈∧
d↓Hαt
␈β
r␈↓ ↓H␈ε0o␈α␈c␈ε#[␈ε3␈α∪B,␈α
(A␈α
B␈α
C␈αQ␈α
B␈α
A␈α
R)␈ε#␈α∩]␈α
retu␈α␈rns␈α2,␈α
ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er␈ε0␈α
o␈α␈c␈ε#[␈ε3␈α∪4␈α␈,␈α∞(1␈α2␈α
(3␈α4)␈α
T)␈ε#␈α∩]␈α
retu␈α␈rns␈α0,␈α
as␈α
4␈αis
␈β→␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ot␈αeq␈α␈ual␈αto␈ε3␈α1␈ε#␈α␈,␈ε3␈α2␈ε#,␈ε3␈α(3␈α4)␈ε#,␈αno␈α␈r␈ε3␈αT␈ε#␈α↓.␈ε0␈αoc␈α␈2␈ε#,␈αh␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α|␈α␈nd␈α␈s␈αall␈αs␈α␈uch␈α
occu␈α␈rren␈α␈ces,␈αho␈α␈w␈α␈ev␈α}er␈αde␈α␈eply
␈βA␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈uried␈α
with␈α␈i␈α↓n␈αthe␈α
lists.␈α∩F␈α↓o␈α␈r␈α∞e␈α␈xam␈α␈ple,␈ε0␈α∞oc2␈ε#␈α␈[␈ε3␈α∪4,␈α∞(1␈α
2␈α
(3␈α
4)␈α∞T)␈ε#␈α∪]␈α
w␈α␈ould␈α
|␈α␈nd␈αthe␈ε3␈α
4␈ε#,␈α∞within
␈βi␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈ε3␈α
(3␈α
4␈α␈)␈ε#␈α↓,␈α
an␈α␈d␈α
th␈α␈erefore␈α	return␈α	1.␈αAlso,␈ε0␈α
oc2␈ε#␈α
c␈α␈an␈α
a␈α␈ccep␈α␈t␈α
an␈α}y␈α
arb␈α␈itrary␈α	S-ex␈α␈press␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈α
for␈ε0␈α
u␈ε#␈α␈,
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈il␈α↓e␈ε0␈αo␈α␈c␈ε#␈αcan␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
acc␈α␈ept␈αlists.
␈β
)␈↓ ¬←␈ε3Que␈α␈stion␈ε7␈αq␈ε3␈α␈10.
␈β
j␈↓ ↓c␈ε1Wr␈α␈ite␈αa␈αfuncti␈α␈o␈α↓n␈αthat␈αtel␈α␈ls␈αho␈α␈w␈αm␈α␈any␈αc␈α␈o␈α↓rr␈α␈esponding␈αpa␈α↓i␈α␈rs␈αof␈αe␈α␈lem␈α␈en␈α␈ts␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αli␈α␈sts␈αa␈α↓r␈α␈e␈αequal.
␈β∞
␈↓ ↓l␈ε1G␈α␈iv␈α␈en␈ε4␈αλ(A␈α	B␈αλC␈αλD␈αλE␈α↓)␈ε1␈αλa␈α↓nd␈ε4␈αλ(Q␈αλB␈α	D␈αλE␈α	E)␈ε1,␈αλthe␈αλfuncti␈α␈o␈α↓n␈αλshould␈αλret␈α␈urn␈α	the␈απva␈α↓l␈α␈ue␈ε$␈αλ2␈ε1,␈α	s␈α␈ince␈απsecond␈αλand
␈β∞+␈↓ ↓l␈ε1|fth␈αλel␈α␈em␈α␈en␈α␈ts␈αλo␈α↓f␈αλeach␈αλli␈α␈st␈αλmatch.␈α	Spe␈α␈cify␈αλthis␈αλfuncti␈α␈on␈α	i␈α␈n␈α	e␈α␈xternal␈αλnotation,␈αλin␈α␈ternal␈αλnotation,
␈β∞K␈↓ ↓l␈ε1and␈αm␈α␈en␈α␈ti␈α␈o␈α↓n␈αan␈α␈y␈αres␈α␈tric␈α␈tions␈αy␈α␈ou␈αhave␈α
im␈α␈posed␈αupon␈αthe␈α
f␈α↓orm␈α
o␈α↓f␈αthe␈α
arg␈α↓um␈α␈en␈α␈ts␈α
(␈α↓e␈α␈.g.,␈α
wha␈α↓t
␈β∞k␈↓ ↓l␈ε1i␈α␈f␈αone␈α
i␈α␈s␈α
no␈α↓t␈α
a␈α
li␈α␈st?)
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"5
␈β⊃∂

␈β↓R␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈β↓U␈↓ α\␈ε#In␈αex␈α␈terna␈α␈l␈αn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αth␈α␈i␈α↓s␈αis
␈β↓W␈↓ α;␈ε1:
␈β↓o␈↓ ↓H␈∧↓o↓Hαt
␈βα¬␈↓ αK␈ε0p␈α␈r␈ε#[␈ε0␈αεu␈α␈,␈α↓v␈ε#␈α¬]␈↓ βJ␈ε7(␈↓ βu␈ε3if␈↓ ∧∀␈ε)n␈↓ ∧.␈ε0u␈ε7␈α
←␈↓ ∧o␈ε)n␈↓ ¬λ␈ε0v␈↓ ¬&␈ε3th␈α␈en␈↓ ¬r␈ε#0
␈βα∨␈↓ βu␈∧α∨βuα∃␈↓ ∧∀␈∧α∨∧∀α∃␈↓ ∧o␈∧α∨∧oα∃␈↓ ¬&␈∧α∨¬&αA
␈βα-␈↓ ¬&␈ε3else␈↓ ¬e␈ε0p␈α␈r␈ε#[␈↓ ε∪␈ε)d␈↓ ε+␈ε0u␈α␈,␈↓ εG␈ε)d␈↓ ε←␈ε0v␈ε#␈α¬]␈α+␈ε0␈α[␈↓ πA␈ε3if␈↓ π`␈ε)a␈↓ πv␈ε0u␈↓ λ≥␈ε#=␈↓ λH␈ε)a␈↓ λ]␈ε0v␈↓ λ{␈ε3the␈α␈n␈↓ 	G␈ε#1␈↓ 	c␈ε3e␈α␈l␈α↓se␈↓ 
"␈ε#0␈ε0␈α␈]
␈βαG␈↓ ¬&␈∧αG¬&α4␈↓ ε∪␈∧αGε∪α∪␈↓ εG␈∧αGεGα∪␈↓ πA␈∧αGπAα∃␈↓ π`␈∧αGπ`α⊃␈↓ λH␈∧αGλHα⊃␈↓ λ{␈∧αGλ{αA␈↓ 	c␈∧αG	cα4
␈βα]␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈e␈↓ α∃␈ε#=␈↓ α@␈ε#w␈α␈e␈αwill␈αu␈α␈se␈αis␈α\␈ε3eq␈α␈ua␈α␈l␈ε#␈α↓"␈α␈,␈αs␈α␈o␈αw␈α␈e␈αmay␈α
de␈α␈al␈αwi␈α↓th␈α
li␈α↓st␈α␈s␈αwhose␈α
elemen␈α}ts␈αare␈αn␈α␈on␈α␈-atom␈α␈s
␈ββ¬␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈pp␈α␈rop␈α␈ri␈α↓a␈α␈tely.␈α⊃Th␈α␈is␈α
fun␈α␈ction␈αw␈α↓ill␈α
be␈αun␈α␈de|␈α␈ned␈αif␈α
either␈α
o␈α␈f␈α
the␈αargu␈α␈men␈α}ts␈α
is,␈α∞in␈α
fa␈α␈ct,␈α∞a
␈ββ-␈↓ ↓H␈ε#(n␈α␈on␈α␈-␈ε3NIL␈ε#␈α↓)␈αato␈α␈m.␈αBack␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αu␈α␈p␈αthro␈α␈ugh␈α
the␈αrec␈α␈ursion␈α␈,␈αth␈α␈i␈α↓s␈αme␈α␈ans␈αif␈αthe␈αsh␈α␈orter␈αli␈α↓st␈αis␈αno␈α␈t
␈ββT␈↓ ↓H␈ε#a␈α
l␈α↓ist,␈ε0␈αpr␈ε#␈αwill␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈αb␈α␈lo␈α␈w␈αup␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αin␈α␈tern␈α␈al␈αform␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws:
␈β∧¬␈↓ ↓j␈ε3(DEFUN␈↓ αx␈ε3P␈α↓R(U␈αV)
␈β∧,␈↓ αx␈ε3(COND␈↓ βw␈ε3((OR␈α(NULL␈αU)␈α(NULL␈αV␈α↓)␈α)␈↓ π-␈ε30)
␈β∧T␈↓ βw␈ε3((EQUAL␈α(CAR␈αU)␈α(CAR␈αV))␈↓ π-␈ε3(␈α↓AD␈α␈D1␈α(P␈α↓R␈α(CDR␈αU)␈α(CDR␈αV))))
␈β∧|␈↓ βw␈ε3(T␈↓ π-␈ε3(␈α↓PR␈α(CDR␈αU)␈α(CDR␈αV))))␈α↓)
␈β¬r␈↓ ¬∂␈ε3Qu␈α␈estion␈ε7␈α
q␈ε311␈α
(Option␈α␈al).
␈βε*␈↓ ↓e␈ε1Wri␈α␈te␈αa␈αf␈α↓unc␈α␈tion␈αthat␈α
e␈α␈li␈α␈mi␈α␈nates␈αm␈α␈ul␈α␈tipl␈α␈e␈αocc␈α␈urrenc␈α␈es␈αof␈α
all␈αele␈α␈me␈α␈n␈α␈ts␈αf␈α↓rom␈αa␈αli␈α␈st.␈α⊂The␈α|nal
␈βεJ␈↓ ↓l␈ε1occ␈α␈urrenc␈α␈e␈α
o␈α↓f␈αe␈α␈a␈α↓c␈α␈h␈αel␈α␈em␈α␈en␈α␈t␈αr␈α␈emai␈α␈ns.␈αTh␈α␈us,␈α
it␈α␈s␈αvalue␈α
fo␈α↓r␈α
the␈αl␈α␈ist␈ε4␈α
(R␈αC␈αA␈α
B␈αD␈α
C␈αD␈α
B␈αA␈αR␈αB)
␈βεj␈↓ ↓l␈ε1shoul␈α␈d␈αbe␈ε4␈α(C␈αD␈αA␈αR␈αB)␈ε1␈α↓.␈α∂Hi␈α␈nt␈α␈:␈α∞You␈αcan␈αde|ne␈αa␈α↓n␈αauxil␈α␈ary␈αfuncti␈α␈o␈α↓n␈αof␈α2␈α
argume␈α␈n␈α␈ts,␈αwhic␈α␈h
␈βπ␈↓ ↓l␈ε1tr␈α␈a␈α↓nsfe␈α␈rs␈α
ele␈α␈me␈α␈n␈α␈ts␈α
o␈α↓f␈α
o␈α↓ne␈αli␈α␈st␈α
o␈α↓n␈α␈to␈α
a␈α∞se␈α␈cond␈α
li␈α␈st,␈α∞and␈α
chec␈α␈ks␈α
to␈α∞se␈α␈e␈α
if␈α
the␈α
e␈α␈le␈α␈men␈α␈t␈α
i␈α␈s␈α
there
␈βπ+␈↓ ↓l␈ε1al␈α␈ready␈αbe␈α␈fo␈α↓re␈α
tr␈α␈a␈α↓nsfe␈α␈rring␈α
it.␈α
Hin␈α␈t:␈α
y␈α␈ou␈αm␈α␈ay␈αwan␈α␈t␈αto␈α
call␈α
upon␈α
the␈α
REV␈α↓ERSE␈αfunc␈α␈tion␈αone
␈βπL␈↓ ↓l␈ε1or␈αmore␈αti␈α␈me␈α␈s.␈α∞Hi␈α␈n␈α␈t:␈αyou␈αmay␈αwish␈αto␈αuse␈αthe␈αEQUAL␈αfuncti␈α␈on␈αi␈α␈nstead␈αo␈α↓f␈αthe␈αE␈α↓Q␈αfunct␈α␈in,
␈βπl␈↓ ↓l␈ε1si␈α␈nce␈α	so␈α↓m␈α␈eti␈α␈me␈α␈s␈α
the␈α
el␈α␈em␈α␈en␈α␈ts␈α
may␈α
not␈α
a␈α↓l␈α␈l␈α
be␈α
atoms.
␈βλ_␈↓ ↓H␈ε2Answ␈α␈er
␈βλ≠␈↓ αa␈ε#Th␈α␈ere␈α
are␈α
se␈α␈v␈α␈era␈α␈l␈α∞ac␈α␈cepta␈α␈ble␈α
solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns,␈α∞mo␈α␈st␈α
of␈α
which␈α
esse␈α␈n␈α␈tially␈α
ign␈α␈ore␈α
the
␈βλ≥␈↓ α;␈ε1:
␈βλ4␈↓ ↓H␈∧λ4↓Hαt
␈βλB␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈help␈α␈ful"␈αh␈α␈i␈α↓n␈α}ts.␈αTh␈α␈e␈αsing␈α␈l␈α↓e␈α
f␈α↓u␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈ε0␈α|␈α␈na␈α␈l␈ε#␈αis␈αpe␈α␈rhap␈α␈s␈αthe␈α
most␈αeleg␈α␈an␈α␈t␈αso␈α␈lution␈α␈:
␈βλs␈↓ βO␈ε0|␈α␈na␈α␈l␈ε#␈α↓[␈ε0␈α¬u␈ε#␈α¬]␈↓ ∧G␈ε#=␈↓ ∧r␈ε3if␈↓ ¬⊃␈ε)n␈↓ ¬+␈ε0u␈↓ ¬H␈ε3the␈α␈n␈↓ ε∀␈ε0NIL
␈β	
␈↓ ∧r␈∧	
∧rα∃␈↓ ¬⊃␈∧	
¬⊃α∃␈↓ ¬H␈∧	
¬HαA
␈β	~␈↓ ¬H␈ε3elseif␈↓ ε≠␈ε)a␈↓ ε1␈ε0u␈ε7␈α2␈↓ εt␈ε)d␈↓ π␈ε0u␈↓ π*␈ε3th␈α␈en␈↓ πu␈ε0|n␈α␈al␈ε#[␈↓ λC␈ε)d␈↓ λ[␈ε0u␈ε#␈α¬]
␈β	4␈↓ ¬H␈∧	4¬HαI␈↓ ε≠␈∧	4ε≠α⊃␈↓ εt␈∧	4εtα∪␈↓ π*␈∧	4π*αA␈↓ λC␈∧	4λCα∪
␈β	B␈↓ π*␈ε3e␈α␈l␈α↓se␈↓ πh␈ε)a␈↓ π}␈ε3u␈α.␈ε0␈α|n␈α␈al␈ε#[␈↓ λ}␈ε)d␈↓ 	⊗␈ε3u␈ε#␈α¬]
␈β	\␈↓ π*␈∧	\π*α4␈↓ πh␈∧	\πhα⊃␈↓ λ}␈∧	\λ}α∪
␈β	t␈↓ ↓H␈ε#(Th␈α␈i␈α↓s␈αλu␈α␈ses␈αλth␈α␈e␈αλmem␈α␈b␈α␈ersh␈α␈i␈α↓p␈απpred␈α␈icate,␈α	\␈ε7␈α␈2␈ε#,"␈α	d␈α␈e|n␈α␈ed␈αλin␈απ[␈α↓M␈α␈T]␈α↓.)␈α
In␈αλin␈α␈te␈α␈rna␈α␈l␈α	n␈α␈otatio␈α␈n,␈ε3␈α	FINAL
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈an␈αb␈α␈e␈αde␈α␈clared␈α␈:
␈β
F␈↓ ↓H␈ε3(DEFUN␈↓ αK␈ε3FINAL(␈α↓U)
␈β
n␈↓ αK␈ε3(COND␈↓ βc␈ε3((NULL␈αU)␈↓ π;␈ε3NIL␈α↓)
␈β∃␈↓ βc␈ε3((M␈α␈E␈α↓M␈α␈BE␈α↓R␈α(CAR␈αU)␈α(CDR␈αU))␈↓ π;␈ε3(F␈α↓INAL␈α(CDR␈αU)))
␈β=␈↓ βc␈ε3(T␈↓ π;␈ε3(CONS␈α(CAR␈αU)␈α(FI␈α↓N␈α␈AL␈α(CDR␈αU))))))
␈βm␈↓ ∧b␈ε&2
␈βq␈↓ ↓H␈ε#Th␈α␈is␈αfu␈α␈nctio␈α␈n␈αdo␈α␈es␈αtak␈α␈e␈↓ ∧+␈ε)O␈↓ ∧C␈ε#(␈↓ ∧N␈ε)n␈↓ ∧o␈ε#)␈αtime,␈αwhen␈↓ ε2␈ε)n␈↓ εO␈ε#=␈↓ εz␈ε#the␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αelemen␈α}ts␈αi␈α↓n␈α
this␈αl␈α↓ist.␈αIt␈αis
␈β→␈↓ ↓H␈ε#fa␈α␈i␈α↓rly␈α
e␈α␈asy␈α
to␈α
c␈α␈omp␈α␈ose␈α
oth␈α␈er␈α
fun␈α␈ction␈α␈s␈α
w␈α↓h␈α␈ich␈α
req␈α␈uire␈α
on␈α␈ly␈↓ λ⊃␈ε)O␈↓ λ)␈ε#(␈↓ λ4␈ε)n␈↓ λH␈ε)m␈↓ λf␈ε#)␈α
time,␈α
e.g.␈αfor␈↓ 
?␈ε)m␈↓ 
f␈ε#=␈↓ ⊂␈ε#the
␈β@␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αd␈α␈i␈α↓s␈α␈ti␈α↓n␈α␈ct␈αeleme␈α␈n␈α␈ts.
␈βk␈↓ α!␈ε0F␈α↓NL␈ε#[␈ε0␈αεu␈ε#␈α¬]␈↓ βH␈ε#=␈↓ βr␈ε0F␈α↓irst␈ε#[␈ε0␈αεre␈α␈v␈α␈erse␈ε#␈α[␈ε0␈α¬u␈ε#␈α¬]␈ε0␈α↓,␈α¬NIL␈ε#␈αε]
␈β
∩␈↓ α!␈ε0F␈α↓irst␈ε#[␈ε0␈αεu␈α␈,v␈ε#␈α¬]␈↓ βH␈ε#=␈↓ βr␈ε3i␈α↓f␈↓ ∧∩␈ε)n␈↓ ∧,␈ε0u␈↓ ε@␈ε3then␈↓ π␈ε0NIL
␈β
,␈↓ βr␈∧
,βrα∃␈↓ ∧∩␈∧
,∧∩α∃␈↓ ε@␈∧
,ε@αA
␈β
:␈↓ ε@␈ε3elseif␈↓ π∀␈ε0u␈ε7␈α
2␈ε0␈αv␈↓ πt␈ε3th␈α␈en␈↓ λ@␈ε0FIRS␈α␈T␈ε#␈α↓[␈↓ 	>␈ε)d␈↓ 	V␈ε0u,v␈ε#␈α⊂]
␈β
T␈↓ ε@␈∧
Tε@αI␈↓ πt␈∧
TπtαA␈↓ 	>␈∧
T	>α∪
␈β
b␈↓ πt␈ε3else␈↓ λ3␈ε0FIRST␈ε#[␈↓ 	1␈ε)d␈↓ 	I␈ε0u,␈↓ 	p␈ε)a␈↓ 
ε␈ε3u␈α.␈αv␈ε#␈α⊂]
␈β
{␈↓ πt␈∧
{πtα4␈↓ 	1␈∧
{	1α∪␈↓ 	p␈∧
{	pα⊃
␈β∞∀␈↓ α␈ε#This␈αc␈α␈ould␈αev␈α␈e␈α␈n␈αb␈α␈e␈αd␈α␈on␈α␈e␈αin␈↓ ¬%␈ε)O␈↓ ¬=␈ε#(␈↓ ¬H␈ε)n␈↓ ¬a␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ ε∩␈ε)n␈↓ ε&␈ε#)␈αt␈α␈i␈α↓m␈α␈e,␈α
b␈α␈y␈α|rst␈αso␈α␈rting␈αthe␈αl␈α↓ist,␈αthe␈α␈n␈αc␈α␈heck␈α␈ing
␈β∞<␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈djac␈α␈en␈α␈t␈αp␈α␈airs␈αf␈α↓o␈α␈r␈αequ␈α␈ality,␈α(␈α↓a␈α␈nd␈α
deletin␈α␈g␈αthe␈α|␈α␈rst␈αelemen␈α}t␈αif␈αthis␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α
ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s,)␈αth␈α␈en
␈β∞c␈↓ ↓H␈ε#\␈α␈un␈α␈sorting␈α␈"␈αb␈α␈ack␈αt␈α␈o␈αthe␈αo␈α␈rigina␈α␈l␈αo␈α␈rder.
␈β∂.␈↓ ε:␈ε"6
␈β⊃∂/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=1234566/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]="&'()*+,-.01234:;<=>ABCDEFGHIKLMNOPRSTW[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxy{||/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]=+012=>[]]/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=22/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=ENOTadmnn/FONT#42=cmi8[XGP,SYS]=adnn/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=dhnrtt/FONT#48=cms9[XGP,SYS]='()*,.123459:ABCDFILMNPRSTX[]abcdefilnoprstuvwxy||/FONT#49=cms8[XGP,SYS]="'(),-./012345689:?ACEFGHILNQRSTUVWY[\]abcdefghiklmnopqrstuvwxy{||/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]=().17:?ABIMQSTW[]acdehiknoprstuwyy/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=(),.012345789<>ABCDEFGILMNOPQRSTUVXY[]acefhilmnopqrstuvxx/FONT#52=cmb8[XGP,SYS]=()*,.12346<>ABCDEFMNOPQRTUX[]aefhilnorstuxx/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=qq/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=()2←qq/FONT#56=cmsy8[XGP,SYS]=α(←qq/FONT#60=cmtitl[XGP,SYS]=,-1279ADPSbeilmnoprstuww